y′ = 6

Розглянемо ДР виду y′ = a·y + b: знайдемо загальне рішення і коротко перевіримо підстановкою.

Коефіцієнти словами: a = ноль, b = шесть.

y′ = 6

y(x) = 6·x + C

Дано: y′ = 6
1) Інтегруємо обидві частини по x:
   y = ∫ b dx = b·x + C
Відповідь: y(x) = 6·x + C

Крок 1: якщо a = 0, рівняння стає y′ = b — похідна y постійна.

Крок 2: інтегруємо: y = b·x + C, де C — довільна константа.

Перевірка: (b·x + C)′ = b, співпадає з правою частиною.

Якщо a = 0, рівняння перетворюється на y′ = b і розв'язується одразу інтегруванням. Якщо a ≠ 0 — використовуємо інтегруючий множник μ(x)=e^(−a·x).

Перевірка: підставляємо знайдене y(x) у праву частину a·y + b і переконуємося, що отримуємо y′(x).

Що означає константа C?
Це довільна стала, що відображає сімейство рішень диференціального рівняння.

Коли можна вирішити без інтегруючого множника?
Коли a = 0: рівняння стає y′ = b і розв'язується прямим інтегруванням.

Навіщо потрібна перевірка?
Щоб переконатися, що похідна y′ збігається з виразом a·y + b після підстановки рішення.