y′ = 117·y + 52

Розглянемо ДР виду y′ = a·y + b: знайдемо загальне рішення і коротко перевіримо підстановкою.

Коефіцієнти словами: a = сто семнадцать, b = пятьдесят два.

y′ = 117·y + 52

y(x) = C·e^(117·x) - 4/9

Дано: y′ = 117·y + 52
Приведемо до вигляду: y′ − a·y = b
1) Інтегруючий множник:
   μ(x) = e^(−117·x)
2) Множимо рівняння на μ(x):
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Ліва частина стає повною похідною:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Інтегруємо:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) Виражаємо y:
   y(x) = C·e^(117·x) − 4/9
Відповідь: y(x) = C·e^(117·x) - 4/9

Крок 1: переносимо a·y вліво: y′ − a·y = b.

Крок 2: беремо інтегруючий множник μ(x)=e^(−a·x).

Крок 3: після множення ліва частина перетворюється в повну похідну (y·μ)′.

Крок 4: інтегруємо праву частину і додаємо константу C.

Крок 5: множимо на e^(a·x) і отримуємо загальне рішення y(x).

Якщо a = 0, рівняння перетворюється на y′ = b і розв'язується одразу інтегруванням. Якщо a ≠ 0 — використовуємо інтегруючий множник μ(x)=e^(−a·x).

Перевіряємо розв'язком: обчислюємо y′ і порівнюємо з a·y+b — має співпадати.

Що означає константа C?
Це довільна стала, що відображає сімейство рішень диференціального рівняння.

Коли можна вирішити без інтегруючого множника?
Коли a = 0: рівняння стає y′ = b і розв'язується прямим інтегруванням.

Навіщо потрібна перевірка?
Щоб переконатися, що похідна y′ збігається з виразом a·y + b після підстановки рішення.