y′ = 5·y + 9

Розглянемо ДР виду y′ = a·y + b: знайдемо загальне рішення і коротко перевіримо підстановкою.

Коефіцієнти словами: a = пять, b = девять.

y′ = 5·y + 9

y(x) = C·e^(5·x) - 9/5

Дано: y′ = 5·y + 9
Приведемо до вигляду: y′ − a·y = b
1) Інтегруючий множник:
   μ(x) = e^(−5·x)
2) Множимо рівняння на μ(x):
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Ліва частина стає повною похідною:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Інтегруємо:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) Виражаємо y:
   y(x) = C·e^(5·x) − 9/5
Відповідь: y(x) = C·e^(5·x) - 9/5

Крок 1: переносимо a·y вліво: y′ − a·y = b.

Крок 2: беремо інтегруючий множник μ(x)=e^(−a·x).

Крок 3: після множення ліва частина перетворюється в повну похідну (y·μ)′.

Крок 4: інтегруємо праву частину і додаємо константу C.

Крок 5: множимо на e^(a·x) і отримуємо загальне рішення y(x).

Якщо a = 0, рівняння перетворюється на y′ = b і розв'язується одразу інтегруванням. Якщо a ≠ 0 — використовуємо інтегруючий множник μ(x)=e^(−a·x).

Перевірка: підставляємо знайдене y(x) у праву частину a·y + b і переконуємося, що отримуємо y′(x).

Що означає константа C?
Це довільна стала, що відображає сімейство рішень диференціального рівняння.

Коли можна вирішити без інтегруючого множника?
Коли a = 0: рівняння стає y′ = b і розв'язується прямим інтегруванням.

Навіщо потрібна перевірка?
Щоб переконатися, що похідна y′ збігається з виразом a·y + b після підстановки рішення.