y′ = 9

Покажемо розв'язок рівняння y′ = a·y + b: кроки, формула відповіді та перевірка.

Коефіцієнти словами: a = ноль, b = девять.

y′ = 9

y(x) = 9·x + C

Дано: y′ = 9
1) Інтегруємо обидві частини по x:
   y = ∫ b dx = b·x + C
Відповідь: y(x) = 9·x + C

Крок 1: якщо a = 0, рівняння стає y′ = b — похідна y постійна.

Крок 2: інтегруємо: y = b·x + C, де C — довільна константа.

Перевірка: (b·x + C)′ = b, співпадає з правою частиною.

При a=0 маємо y′=b. При a≠0 застосовуємо інтегруючий множник і отримуємо загальний розв'язок з константою C.

Перевіряємо розв'язком: обчислюємо y′ і порівнюємо з a·y+b — має співпадати.

Що означає константа C?
Це довільна стала, що відображає сімейство рішень диференціального рівняння.

Коли можна вирішити без інтегруючого множника?
Коли a = 0: рівняння стає y′ = b і розв'язується прямим інтегруванням.

Навіщо потрібна перевірка?
Щоб переконатися, що похідна y′ збігається з виразом a·y + b після підстановки рішення.